← Späť na kalkulačku
Manuál

Mohrova kružnica — manuál

Kompletný sprievodca transformáciou rovinného stavu napätia. Od základov po praktické príklady.

Obsah
1. Čo je Mohrova kružnica2. Kedy ju potrebuješ3. Vstupné veličiny4. Vzorce a odvod​enie5. Hlavné napätia a šmyk6. Von Misesovo napätie7. Ako čítať diagram8. Príklad krok za krokom9. Časté chyby10. Literatúra

Mohrova kružnica je graficko-analytická metóda na transformáciu rovinného stavu napätia v bode telesa. Vynašiel ju nemecký inžinier Christian Otto Mohr v roku 1882.

Umožňuje jednoducho nájsť hlavné napätia (σ₁, σ₂), maximálne šmykové napätie (τmax) a smer hlavných osí (θp) — teda informácie kritické pre posúdenie pevnosti konštrukcie.

Prečo je to dôležité? Materiál sa neporušuje v smere x alebo y, ale v smere najväčšieho napätia. Mohrova kružnica ti ukáže, kde ten smer je a aké veľké je napätie.

Mohrovu kružnicu potrebuješ vždy, keď máš kombinované namáhanie — teda normálové aj šmykové napätia pôsobiace súčasne:

  • Ohyb + šmyk v nosníku
  • Dvojosová napätosť v stene nádrže
  • Krútenie + ohyb hriadeľa
  • Napätia v základovej pôde pod šikmým zaťažením
  • Zvárané spoje s kombináciou síl
Obmedzenie: Táto kalkulačka rieši rovinnú napätosť (2D). Pre priestorový stav napätia (3D) existujú tri Mohrove kružnice — to tu neriešime.
VeličinaSymbolJednotkaPopis
Normálové napätie xσxMPaNapätie v smere osi x. Ťah = kladné (+), tlak = záporné (−).
Normálové napätie yσyMPaNapätie v smere osi y. Ťah = kladné (+), tlak = záporné (−).
Šmykové napätieτxyMPaŠmykové napätie v rovine xy. Znamienko podľa konvencie (kladné = proti smeru hodinových ručičiek na kladnej ploche).
Tip: Ak si nie istý znamienkom, nakresli si element s napätiami a dodržuj konvenciu: ťah = +, tlak = −. Šmyk je kladný ak pôsobí „nahor" na pravej strane elementu.

Všetky vzorce vychádzajú z transformačných rovníc pre rovinný stav napätia (tenzor napätia 2. rádu).

Stred kružnice

C = (σx + σy) / 2

Stred leží na osi σ a predstavuje priemernú hodnotu normálových napätí. Je to zároveň hydrostatická zložka napätia.

Polomer kružnice

R = √[((σx − σy) / 2)² + τxy²]

Polomer udáva maximálne šmykové napätie a „rozptyl" napätí od strednej hodnoty. Ak R = 0, ide o hydrostatický stav (rovnaké napätie vo všetkých smeroch).

Uhol hlavných osí

2θp = atan2(2·τxy, σx − σy) θp = 2θp / 2

Uhol θp určuje natočenie hlavných smerov oproti pôvodným osiam x, y. V hlavných smeroch je šmykové napätie nulové.

Hlavné napätia

σ₁ = C + R (maximálne) σ₂ = C − R (minimálne)

Hlavné napätia sú extrémy normálového napätia — v týchto smeroch je šmyk nulový. Sú to body kde kružnica pretína os σ.

Maximálne šmykové napätie

τmax = R = (σ₁ − σ₂) / 2

Najväčší šmyk nastáva v smere natočenom o 45° od hlavných smerov. Na diagrame je to najvyšší (a najnižší) bod kružnice.

Kľúčová myšlienka: V hlavných smeroch je maximálny normálový a nulový šmykový. V smeroch maximálneho šmyku je normálové napätie rovné stredu C.
σ_VM = √(σ₁² − σ₁·σ₂ + σ₂²)

Von Misesovo (redukované) napätie je skalárna hodnota, ktorá umožňuje porovnať kombinovaný stav napätia s jednoosovou medzou klzu materiálu.

Ak σ_VM ≤ fy (medza klzu), materiál sa plasticky nedeformuje. Toto je základ podmienky HMH (Huber-Mises-Hencky), najpoužívanejšieho kritéria porušenia pre ťažné materiály (oceľ).

Pozor: Von Misesovo kritérium platí pre ťažné materiály (oceľ, hliník). Pre krehké materiály (betón, sklo, keramika) sa používa Mohr-Coulombovo alebo Rankineho kritérium.

Diagram Mohrovej kružnice má:

  • Vodorovná os σ — normálové napätie (ťah vpravo, tlak vľavo)
  • Zvislá os τ — šmykové napätie
  • Stred C — na osi σ, hodnota (σx+σy)/2
  • σ₁ — pravý priesečník s osou σ (maximálne hlavné napätie)
  • σ₂ — ľavý priesečník s osou σ (minimálne hlavné napätie)
  • τmax — najvyšší bod kružnice
  • Bod X — (σx, τxy) — pôvodný stav na ploche kolmej na x
  • Bod Y — (σy, −τxy) — pôvodný stav na ploche kolmej na y
Dôležité: Uhly na Mohrovej kružnici sú dvojnásobné oproti skutočným uhlom v telese. Ak na kružnici otočíš o 2θ, v telese sa natočíš o θ.

Zadanie: V bode nosníka pôsobí σx = 80 MPa, σy = −40 MPa, τxy = 30 MPa.

Krok 1 — Stred

C = (80 + (−40)) / 2 = 40 / 2 = 20 MPa

Krok 2 — Polomer

R = √[((80−(−40))/2)² + 30²] = √[(60)² + (30)²] = √[3600 + 900] = √4500 = 67,08 MPa

Krok 3 — Hlavné napätia

σ₁ = 20 + 67,08 = 87,08 MPa σ₂ = 20 − 67,08 = −47,08 MPa

Krok 4 — Maximálny šmyk

τmax = R = 67,08 MPa

Krok 5 — Uhol hlavných osí

2θp = atan2(2·30, 80−(−40)) = atan2(60, 120) = 26,57° θp = 13,28°

Krok 6 — Von Mises

σ_VM = √(87,08² − 87,08·(−47,08) + (−47,08)²) = √(7583 + 4101 + 2217) = √13901 = 117,9 MPa
Skús zadať tieto hodnoty do kalkulačky a porovnaj výsledky — musia sa zhodovať.
  • Zámena znamienok: Ťah = kladné, tlak = záporné. Ak zamieňaš, dostaneš nesprávne hlavné napätia.
  • Šmyk so zlým znamienkom: Konvencia musí byť konzistentná. Pozri si na element, akým smerom šmyk pôsobí.
  • Zamieňanie θ a 2θ: Na kružnici sú uhly dvojnásobné. Ak chceš natočenie v telese, deľ dvomi.
  • Aplikovanie na 3D: Táto metóda je pre rovinnú napätosť. V 3D treba riešiť 3 hlavné napätia z kubickej rovnice.
  • Brdička, M. — Mechanika kontinua
  • Šejnoha, J. — Pružnost a pevnost
  • Höschl, C. — Pružnost a pevnost ve strojírenství
  • Gere, J.M., Goodno, B.J. — Mechanics of Materials
  • Beer, Johnston, DeWolf — Mechanics of Materials
Kalkulačka slúži ako orientačná pomôcka. Výsledky musia byť overené autorizovanou osobou pred použitím v projektovej dokumentácii.